Preface 5
1 Introduction 9
1.1 A motivating example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Probability and quantile transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Structure and philosophy of the book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Additional references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Copulas 17
2.1 Denition and characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 The Frechet{Hoeding bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Sklar's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 The invariance principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Survival copulas and copula symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 Measures of association . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.1 Fallacies related to the correlation coecient . . . . . . . . . . . 55
2.6.2 Rank correlation measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6.3 Tail dependence coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Rosenblatt transform and conditional sampling . . . . . . . . . . . . . 76
3 Classes and families 87
3.1 Elliptical distributions and copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.1 Elliptical distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.2 Elliptical copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2 Archimedean copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3 Extreme-value copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Selected copula transformations and constructions . . . . . . . . . . . . 122
3.4.1 Rotated copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4.2 Khoudraji's device . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4.3 Mixtures of copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4 Estimation 137
4.1 Estimation under a parametric assumption on the copula . . . . . . . . 137
4.1.1 Parametrically estimated margins . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1.2 Non-parametrically estimated margins . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.1.3 Estimators of elliptical copula parameters . . . . . . . . . . . . . 151
4.1.4 Other semi-parametric estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1.5 Estimation of copula models with partly xed parameters . . . . 156
4.2 Non-parametric estimation of the copula . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2.1 The empirical copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2.2 Under extreme-value dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5 Graphical diagnostics, tests and model selection 167
5.1 Basic graphical diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2 Hypothesis tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2.1 Tests of independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2.2 Tests of exchangeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2.3 A test of radial symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.2.4 Tests of extreme-value dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.2.5 Goodness-of-t tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.2.6 A mixture of graphical and formal goodness-of-t tests . . . . . 188
5.3 Model selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6 Ties, time s
